A.A.A. Ancora Ligeti, e ancora l'escalier du diable (una scoperta sensazionale)!

Torno nuovamente su questo pezzo per segnalarvi qualcosa di eccezionale.

Premetto: György Ligeti, compositore ungherese di cui abbiamo già parlato proprio a proposito dell'escalier du diable, conosceva bene la matematica. Sappiamo che prima di studiare composizione si dedicò alla fisica e alla matematica: possiamo ipotizzare che queste conoscenze siano confluite in alcune sue composizioni, ma Ligeti non è Xenakis. Quest'ultimo basava l'intera idea compositiva su formule matematiche (che a quanto pare risultarono sbagliate). E' simpatico sapere che Xenakis accusò Ligeti di aver copiato i suoi metodi in Apparitions e in Atmosphères, quando però il nostro amico ungherese non conosceva ancora il collega musicista-matematico.

Ecco il fatto: Qualche settimana fa mi imbattei in maniera totalmente casuale in una certa funzione, il cui nome secondo qualche fonte è funzione di G. Vitali, secondo altri è funzione di Cantor, in ogni caso viene soprannominata come "La scalata del diavolo". Vi ricorda qualcosa? A me sì.
Sinceramente non avrei mai pensato che questo studio (stiamo parlando dello studio n.13 del secondo libro) potesse essere ispirato a qualcosa di matematico, ma a posteriori è in effetti probabile. Anzi, è proprio così! E l'ho scoperto io! Wow.

Possiamo pensare che l'omonimia tra la funzione in questione e il titolo dello studio 13 sia una casualità, e in effetti non ho nessuna prova a dimostrazione che Ligeti si sia davvero ispirato a questa funzione: in nessun sito o libro o articolo su Ligeti ho mai trovato accenni in merito; ugualmente nei siti su questa funzione (così come in wikipedia inglese e francese) Ligeti non viene citato.
A parte il nome, c'è dell'altro che rende l'affinità piuttosto certa. Il grafico della funzione è il seguente:


Prima di proseguire nella lettura vi invito a riascoltare il brano. E' possibile farlo qui, con il video di Greg Anderson. Proseguiamo.

C'è un'analogia che difficilmente si potrebbe definire in maniera precisa. Le cose più evidenti sono che entrambe le scale salgono, ed entrambe salgono a a piccoli passi (Ligeti utilizza la scala cromatica, ovvero al pianoforte i "passi" più piccoli che si possono compiere), con una dilatazione evidente verso la metà che si può identificare chiaramente nel brano (è il punto in cui la salità veloce si ferma e si passa ad una semi-immobilità con accordi lenti e pesanti, nel video di Anderson si trova a 2'20''). Allo stesso modo le piccole fermate (i tratti orizzontali corti o cortissimi visibili nel grafico sopra) possono ricondursi all'utilizzazione di una nota in più ogni 2, 3 o più configurazioni di note, come chiarisce questa immagine:



Ecco come a mio parere Ligeti riesce a rappresentare musicalmente la funzione. La successione viene stabilità dall'accento sulle note segnato con un trattino verticale o con questo segno " > ". Ad esempio, nel primo caso potremo chiamare la successione "corta-corta-lunga", mentre nel secondo "corta-corta-corta-corta-lunga". Mi sembra più o meno chiaro che la diversa successione di accenti rappresenti una diversa lunghezza della gradinata. Inoltre dal breve frammento notiamo che gli accenti si susseguono in maniera irregolare e a prima vista casuale. Leggendo tutto in questo modo possiamo effettivamente trovare una somiglianza elevata tra il grafico e la composizione.

Sappiamo inoltre che questa funzione è un frattale, e ricordo bene che Ligeti parlava di frattali per alcune sue composizioni. A parte l'interesse meramente musicale questa funzione presenta degli aspetti molto curiosi (io ne capisco solo una parte, ma i frattali sono SEMPRE curiosi) che chi è interessato può approfondire qui (italiano) e qui (francese).
E' altresì difficile trovare un'analogia PERFETTA. Ad esempio, sempre nella parte degli accordi (che identificherei con il gradino centrale della funzione, cioè la linea orizzontale più lunga) la funzione è perfettamente diritta, mentre nel brano, anche se molto lentamente, la sezione continua a salire cromaticamente (per un'analogia più diretta queste note dovrebbero essere alla stessa altezza per un tempo più lungo). Spiegherei queste differenze ricordando come già detto che Ligeti non prendeva una funzione e la trascriveva su carta, come similmente facevano suoi colleghi. Ne catturava l'idea e per il resto ci lavorava come meglio credeva, per raggiungere in ogni caso qualcosa che risultasse apprezzabile.



Non ho le conoscenze matematiche adeguate per cercare ulteriori affinità che non siano puramente istintive: affinità che chiunque può rintracciare ascoltando il pezzo e osservando il grafico della funzione.
Ripeto, vantandomi senza il minimo contegno, che (per quanto mi risulta) sono il primo ad aver notato l'affinità. Probabilmente in futuri libri sull'opera ligetiana questa funzione verrà citata. In tal caso pretenderò i diritti per la scoperta.

Ligeti è l'autore più importante del nostro secolo. E' riuscito a trovare il compromesso tra bellezza e complessità, tra estetica e struttura e cioè tra arte e matematica. In questo modo le sue composizioni soddisfano l'ascoltatore rilassato e meno cerebrale così come il giocatore di scacchi.

Chiudo.

"Io frequentavo i corsi di fisica e di matematica. Il calcolo differenziale e integrale l'avevamo già studiato alle superiori; i vettori, la topologia, le matrici e la geometria proiettiva erano argomenti nuovi. Mi interessavano molto, anche se oggi ho dimenticato tutto. Sarei anche potuto diventare un matematico o un fisico, e in tal caso avrei insegnato in qualche università, non so con quale risultato. Di sicuro non avrei svelato il mistero della vita. Per fare quello bisogna essere al posto giusto." Ligeti G.